Родился в Москве 28 октября 1960 года. Первой ступенькой в его профессиональном образовании стало Музыкальное училище им. Ипполитова-Иванова, позже - Московская Консерватория (теоретико-композиторский факультет) которую он закончил в 1984 году, защитив дипломную работу «Выразительные средства рок-музыки», что по тем временам было довольно смелым шагом. Огромную роль в развитии его композиторских навыков сыграло обучение в классе инструментовки выдающегося русского композитора Эдисона Денисова.
После окончания консерватории и службы в армии Алексей начал трудовую карьеру в качестве концертмейстера в Государственном эстрадно-цирковом училище (ГУЦЭИ) и одновременно научного сотрудника в Институте истории искусств. В 1988 году им была написана музыка к спектаклю «Круг», что и послужило началом плодотворного сотрудничества композитора с театром: с 1989 по 1991 гг. Шелыгин заведовал музыкальной частью в Московском Театре им. Маяковского и написал музыку к четырнадцати спектаклям.
В 1991г. Алексей стал музыкальным руководителем театра «Третье направление» Союза композиторов России. С этого момента он значительно расширил своё профессиональное сотрудничество с московскими театрами: им. Вахтангова, им. Станиславского и прочими. Шелыгин написал музыку более чем к 30-ти спектаклям, в том числе: мюзикл «Валенсианские безумцы», «Кин IV», «Шутка мецената», «Любовный напиток», «Амфитрион», «Укрощение строптивой», «Двенадцатая ночь», «Коллекция Пинтера», «Сирано де Бержерак», «Миллионерша» (режиссер Владимир Мирзоев). Творческую деятельность в театрах он успешно совмещал с работой старшего преподавателя ГИТИСа (РАТИ).
Чуть позже Алексея Шелыгина узнали и на европейских театральных подмостках. В 1996 году состоялись международные премьеры его оперы «Полин... Полин» (Франция) и мюзикла «Каштанка» (Германия), в 1997 году - сотрудничество с известным канадским балетмейстером Ким Франк на постановке оперы-балета «В поисках чудесного».
С 1995 года Алексей расширил сферу своего творчества сотрудничеством с телевидением. Он пишет музыку к самым рейтинговым программам российского телевидения: «Театр плюс ТВ», «Куклы», авторские программы Леонида Парфёнова, цикл «Новейшая история» и другие, становится автором музыки к сериалам «Квартира» (1993), «Самозванцы» (1998-2000), «Стилет» (2003), «Штрафбат» (2004), «Звездочёт» (2004), к анимационным фильмам режиссёра И. Уфимцева, многим документальным фильмам и сериалам.
Алексей Шелыгин - обладатель трёх телевизионных премий «Тэффи» (программы «Куклы», «Театр плюс ТВ», «Живой Пушкин»), а в 1999 году за музыку к фильму «Небо в алмазах» (режиссер Василий Пичул) удостоен национальной премии кинокритики «Золотой Овен».
Широкую известность и всенародное признание Шелыгину принесла работа над музыкой для сериала режиссера Алексея Сидорова «Бригада» (2002), а также для блокбастера «Бой с тенью» (2005). Эти две работы не только стали поистине всероссийскими хитами, но и принесли Алексею две премии «Рекордъ» за самые продаваемые отечественные саундтреки, которые задали новую планку качества для музыки российского кинематографа.
Редкие концертные выступления Алексея Шелыгина как композитора и пианиста - авторский вечер в Центральном доме актёра с участием солиста Большого театра Александра Науменко, артистов театра им. Маяковского Евгении Симоновой, Александра Лазарева и в Концертном зале им. Чайковского с Государственным Академическим камерным оркестром России «Вивальди-оркестр» под руководством народной артистки России Светланы Безродной - также становятся яркими и запоминающимися событиями культурной и музыкальной жизни.
Алексей Шелыгин - член Союза театральных деятелей. В британской энциклопедии «Who is Who in musiс» его имя помещено в раздел light classic, то есть «легкая классика», рядом с именами Майкла Наймана, Филиппа Гласса, Горана Бреговича.