Родился 24 января 1953 года в Ростове-на-Дону. В 1971 году он окончил Львовскую среднюю специальную музыкальную школу. С 1971 по 1976 год учился в Московской консерватории. Первым его преподавателем по классу альта был профессор Вадим Борисовский, а после его смерти, с 1972 года, – профессор Федор Дружинин. Под его руководством  Юрий   Башмет  проходил стажировку и обучение в ассистентуре Московской консерватории (1976–1978).
В 1972 году  Юрий   Башмет  приобретает альт мастера Паоло Тесторе (Милан, 1758), на котором играет по настоящее время. Еще в студенческие годы музыкант был удостоен Второй премии Международного конкурса альтистов в Будапеште (1975) и Гран-при на конкурсе альтистов, проводимом ARD в Мюнхене (1976). О нем заговорили как о феноменально одаренном артисте.
Активная концертная деятельность Ю.  Башмета  началась в 1976 году с гастролей по Германии с Московским камерным оркестром, который основал Р. Баршай. Впервые в мировой исполнительской практике  Юрий   Башмет  дал сольные альтовые концерты (Recital, Viola Abend) в таких залах, как Карнеги-холл (Нью-Йорк), Концертгебау (Амстердам), Барбикан (Лондон), Берлинская филармония, «Ла Скала» (Милан), Большой зал консерватории в Москве и Большой зал Ленинградской филармонии.
 Юрий   Башмет  – один из немногих музыкантов современности, получивший всемирное признание и авторитет. Он сотрудничал с выдающимися дирижерами, такими как Рафаэль Кубелик, Сейджи Озава, Геннадий Рождественский, сэр Колин Дэвис, Джон Эллиот Гардинер, Мстислав Ростропович, Валерий Гергиев, Шарль Дютуа, Нэвил Мэрринер, Пауль Захер, Майкл Тилсон Томас, Курт Мазур, Бернард Хайтинк, Кент Нагано, Саймон Раттл,  Юрий  Темирканов, Николаус Арнонкур.
Начав в 1985 году свою дирижерскую деятельность,  Юрий   Башмет  и здесь остался верен себе, подтвердив блистательную репутацию смелого, никогда не боящегося рисковать, современного художника.
В 1986 году Ю.  Башмет  создает камерный оркестр «Солисты Москвы». В 1991 году, находясь на гастролях за рубежом, Ю.  Башмет , как художественный руководитель оркестра, подписал временный контракт на работу коллектива с мэрией города Монпелье (Франция). Впоследствии музыканты оркестра приняли решение остаться во Франции, что было абсолютно неприемлемо для  Башмета , поскольку, подписывая контракт, он не собирался уезжать из России, которая была и остается его домом. Ю.  Башмет  принимает решение отказаться от руководства оркестром и оставляет коллектив, предоставив музыкантам право выбора оставаться или вернуться в Россию. Вскоре ансамбль прекращает свое существование. Сегодня его музыканты работают в различных творческих коллективах за рубежом.
В 1992 году Ю.  Башмет  создает новый оркестр, участниками которого становятся самые талантливые молодые музыканты России, выпускники и аспиранты Московской консерватории. Сегодня без этого коллектива трудно представить полнокровную художественную жизнь не только России, но и многих стран. Ансамбль сыграл множество концертов в разных странах мира. Его выступления записаны крупнейшими радиокомпаниями, такими как Би-Би-Си, Баварское радио, Радио Франс, Радио Люксембург.
Ансамбль записал несколько компакт-дисков, среди которых особое место занимает премьерная запись Тройного концерта А. Шнитке, сделанная для фирмы «EMI Records», где солистами выступили Г. Кремер, Ю.  Башмет  и М. Ростропович. А компакт-диск с записью Тринадцатого квартета Д. Шостаковича и квинтета И. Брамса (солист Ю.  Башмет ), сделанной для фирмы «Sony Classics», отмечен критиками крупнейшего музыкального журнала «STRAD» как «лучшая запись 1998 года».
В качестве солиста и дирижера  Юрий   Башмет  выступает с лучшими симфоническими оркестрами: Berlin Philharmonic, Berlin Symphony, New York Philharmonic, Bayerishe Rundfunk, San Francisco Symphony, Chicago Symphony, Boston Symphony, London Symphony, Radio France, Оркестр de Paris, Wiener Philharmonic и др. С этими оркестрами он с успехом исполнял симфонические произведения Брамса, Гайдна, Шуберта, Моцарта, Чайковского, Бетховена. А исполнение под его руководством Симфонии №13 Д. Шостаковича в Большом театре России стало значительным и ярким событием в музыкальной жизни страны.
Его сольные концерты, а также выступления в ансамбле с такими выдающимися музыкантами-исполнителями, как С. Рихтер, М. Ростропович, И. Стерн, А.-С. Муттер, Г. Кремер, М. Порталь, Ш. Минц, О. Каган, Н. Гутман, В. Третьяков, М.-Ж. Пиреш, неизменно собирают полные залы и вызывают жгучий интерес.
 Юрий   Башмет  и Святослав Рихтер. Содружество исполнителей разных поколений, но тождественных художественных взглядов обрело высший смысл. Их совместные выступления на знаменитом фестивале «Декабрьские вечера» в ГМИИ имени А.С. Пушкина в Москве и в мировых турне создавали незабываемую атмосферу сотворчества двух великих музыкантов.
И еще одна многолетняя творческая дружба. Общение с гениальным музыкантом М. Ростроповичем, как на сцене так и в жизни, для Ю.  Башмета  всегда огромная радость.
В его программах – музыка разных эпох и стилей. Современными композиторами специально для Ю.  Башмета  написаны или ему посвящены более 50 альтовых концертов и других произведений: А. Шнитке – «Концерт», «Монолог»; С. Губайдулина – «Концерт»; Э. Денисов – «Концерт»; Д. Тавенер – «The Myth Bearer»; А. Головин – «Соната-бреве»; А. Раскатов – «Соната»; Г. Канчели – «Stix», «Литургия»; А. Чайковский – два «Концерта»; Баркаускас – «Концерт»; А. Эшпай – «Концерт»; П. Рудерс – «Концерт»; А. Шнитке – «Концерт на троих» (посвящается М. Ростроповичу, Ю.   Башмету , Г. Кремеру) и многие другие.  Юрий   Башмет  переработал «Струнное трио» А. Шнитке для струнного оркестра (под названием «Трио-соната» оно вышло в издательстве «Сикорски», Вена).
В огромном репертуаре Ю.  Башмета  есть произведения, интерпретация которых признана непревзойденной в истории исполнительского искусства. Среди них – «Чакона» И.С. Баха, Соната «Арпеджионе» Ф. Шуберта, Симфония-концерт для скрипки и альта В. Моцарта, Альтовая соната Д. Шостаковича, Концерт для альта с оркестром А. Шнитке.
Ю.  Башмет  участвовал во многих фестивалях по всему миру: Танглвуд (США), Бордо, Биарриц, Ментон (Франция), Брюссель (Бельгия), Кухмо, Миккели (Финляндия), Кройт (Германия), Сиена, Камерино, Сорренто, Стреза (Италия), «Мартовские музыкальные дни» (Русе, Болгария). Он является артистическим директором и одним из организаторов фестивалей в Роландсеке (Германия), Туре (Франция) и на о. Эльба (Италия). Он – регулярный участник Променад-концертов в Альберт-холле (Лондон, Англия). Высочайшей оценкой таланта  Юрия   Башмета  стало назначение его художественным руководителем музыкального фестиваля «Декабрьские вечера», который 17 лет проходил под руководством  Святослава Рихтера в Москве.
 Юрий   Башмет  – основатель и председатель жюри первого и единственного в России Международного конкурса альтистов в Москве. Он является президентом Международного конкурса альтистов имени Л. Тертиса в Англии.
Кино и телекомпаниями разных стран (Англия, Франция, Россия) снято несколько фильмов о его творчестве. Его компакт-диски неоднократно становились обладателями таких престижных европейских наград, как «Золотой диапазон» и «Шок».
Он удостоен почетных званий заслуженный артист РСФСР (1983), народный артист СССР (1991), лауреат Государственной премии СССР (1986), лауреат Государственных премий России (1993, 1995, 2000), лауреат премии «Award-1993» – «Лучшему музыканту-инструменталисту года» (титул сродни кинематографическому «Оскару»). Ю.  Башмет  – Почетный Академик Лондонской академии искусств.
В 1995 году он награжден одной из самых престижных в мире премий –«Sonnings Musikfond», присуждаемой в Копенгагене. Ранее этой премии были удостоены И. Стравинский, Л. Бернстайн, Б. Бриттен, И. Менухин, И. Стерн, А. Рубинштейн, Д. Шостакович, М. Ростропович, С. Рихтер.
 Юрий   Башмет  награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» III степени (Россия), «За заслуги перед Отечеством» (Украина), «За заслуги перед Отечеством» (Литва). Он – офицер ордена «Почетного легиона» (Франция), командор ордена «За заслуги перед Итальянской Республикой» (Италия), офицер ордена «Изящных искусств и словесности» (Франция). Награжден также орденом Серафима Саровского, орденом «За профессиональную честь, достоинство и почетную деловую репутацию”.
С 1978 года  Юрий   Башмет  преподает в Московской консерватории; с 1988 года – доцент, с 1996 года – профессор.
С 1980 года Ю.  Башмет  проводит мастер-классы в Японии, Европе, Америке и Гонконге; преподает на летних курсах в академиях Киджана в городе Сиена (Италия) и в городе Туре (Франция). Его ученики, среди которых немало лауреатов международных конкурсов, играют в крупнейших оркестрах мира.
В 1996 году он создает и возглавляет в Московской консерватории «Экспериментальную кафедру альта», на которой помимо произведений сольного альтового репертуара в программу студента включается расширенное изучение альтовых партий в камерной, оперной и симфонической музыке, а также углубленное изучение истории исполнительских стилей прошлого и современности.
Ю.  Башмет  ведет широкую просветительскую работу, являясь телеведущим и художественным руководителем телевизионных программ «Вокзал Мечты» и «Музыка в музеях мира».
 Юрий   Башмет  – участник многих крупнейших благотворительных акций мирового значения: в Карнеги-холл (с участием Э. Джона и С. Уандера), в Лондоне (памяти принцессы Дианы); в концертах, сборы от которых были направлены в фонды помощи пострадавшим от стихийных бедствий в Армении, Японии, фонды помощи детям-инвалидам.
Созданный музыкантом Международный благотворительный фонд учредил Международную премию имени Д. Шостаковича за выдающиеся достижения в области мирового искусства.  Живет и работает в Москве.